题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，- $数学公式$ ），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为m，DE=n，n与m的函数关系式；
（3）点M在y轴上，点N在抛物线上．是否存在以M、N、A、B四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
依题意得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（2）∵点D的横坐标为m，
∴点D的纵坐标为 $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ，
设直线BC的解析式为y=kx+b′（k≠0，k、b′是常数），
依题意得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线BC的解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
∴点E的坐标为（m， $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），
∴DE的长度n= $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m，
∵点D在直线BC下方，
∴0＜m＜3；

（3）①AB是平行四边形的边时，
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，

若点N在y轴的左边，则点N的横坐标为-4，
所以，y= $\text{[math]}$ ×（-4）²- $\text{[math]}$ ×（-4）- $\text{[math]}$ =7 $\text{[math]}$ ，
此时，点N的坐标为（-4，7 $\text{[math]}$ ），
若点N在y轴的右边，则点N的横坐标为4，
所以，y= $\text{[math]}$ ×4²- $\text{[math]}$ ×4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
此时，点N的坐标为（4， $\text{[math]}$ ）；
②AB是对角线时，∵点M在y轴上，抛物线对称轴为直线x=1，
∴点N的横坐标为2，
∴y= $\text{[math]}$ ×2²- $\text{[math]}$ ×2- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
此时，点N的坐标为（2，- $\text{[math]}$ ）；
综上所述，点N的坐标为（-4，7 $\text{[math]}$ ）或（4， $\text{[math]}$ ）或（2，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据二次函数的对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点D的纵坐标，再利用待定系数法求求出直线BC的解析式，然后求出点E的纵坐标，然后用点E的纵坐标减去点D的纵坐标，整理即可得解；
（3）分①AB是平行四边形的边时，先求出AB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出点N的横坐标，然后利用抛物线解析式计算求出纵坐标，从而得解；②AB是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求出点N的横坐标，然后利用抛物线解析式计算求出纵坐标，从而得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离，平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质，（3）要分情况讨论．