Question

如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
（3）求sin∠OPA的值．

Answer 1

分析：（1）连接OB．证OB⊥PB即可．通过证明△POB≌△POA得证．
（2）根据切线长定理PA=PB．BD=2PA，则BD=2PB，即BD：PD=2：3．
根据BC∥OP可得△DBC∽△DPO，从而得出线段PO与线段BC之间的数量关系．
（3）根据三角函数的定义即求半径与OP的比值．设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．在△BOD中可求y与x的关系，进而在△POB中求OP与x的关系，从而求比值得解．

解答：（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，
∴∠POA=∠POB，（1分）
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA．                                            （3分）
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切线．                                           （4分）

（2）解：2PO=3BC．（写PO=

3

2

BC亦可）
证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．                             （5分）
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO．                                   （6分）
∴

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

，
∴2PO=3BC．                                                 （7分）

（3）解：∵CB∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴

DC

DO

=

BD

PD

=

2

3

，
即DC=

2

3

OD．
∴OC=

1

3

OD，
∴DC=2OC．                                                （8分）
设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）²=x²+（2y）²，即2x²=y²．
∵x＞0，y＞0，
∴y=

2

x，OP=

x2+y2

=

3

x．                             （9分）
∴sin∠OPA=

OA

OP

=

x

3 x

=

1

3

=

3

3

．                           （10分）

点评：此题考查了切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识点，综合性强，难度大．