Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则CD长为

3

3

cm，图中阴影部分的面积为

1.5π

cm²．

Answer 1

分析：①首先在直角△ABC中求得AC=6cm、∠CAB=60°．利用圆周角定理推知△ACD是直角三角形；然后通过解直角△ACD来求CD的长度．
②转化为扇形OFD求解．

解答：解：①如图，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，、
∴AC=

1

2

AB=6cm，∠CAB=60°．
∵AC是直径，点D是圆上的一点，
∴∠ADC=90°，
∴CD=ACsin60°=6×

3

2

=3

3

（cm）．

②连接OF、OD，
∵∠B=30°，点E是AB中点，
∴∠B=∠BCE=30°，∠ACD=30°，
∴∠FCD=30°，
∴F、D是半圆的三等分点，
∴OF垂直平分CD，
∴S_△CFG=S_△OGD，
∴S_阴影=S_扇形OFD=

60π×32

360

=1.5π．
故答案为：3

3

，1.5π．

点评：本题考查了等边三角形的性质，以及圆的面积的计算，正确理解：

AD

与弦AD围成的弓形的面积等于

CF

与弦CF围成的弓形的面积相等是关键．