Question

如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE恰好平分∠ABC，判断AB的长与AD+BC的大小关系并证明．

Answer 1

分析：′在AB上取一点F，使AF=AD，连接EF，根据平行线的性质可以得出∠AEB=90°，通过证明△AED≌△AEF和△BCE≌△BFE，由全等三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：AB=AD+BC
证明：′在AB上取一点F，使AF=AD，连接EF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠5=∠6=

1

2

∠BAD．
∵BE平分∠ABC，
∴∠7=∠8=

1

2

∠ABC．
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴

1

2

∠ABC+

1

2

∠BAD=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠AEB=∠2+∠3=90°．
∴∠1+∠4=90°．
在△AED和△AEF中，

AD=AF ∠5=∠6 AE=AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS）
∴∠1=∠2．
∴∠4+∠2=90°，
∴∠4=∠3．
在△BEC和△BEF中

∠4=∠3 BE=BE ∠7=∠8

，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴BC=BF．
∵AB=BF+AF，
∴AB=BC+AD．

点评：本题考查了平行线的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法作辅助线是关键．