Question

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2012×2013

=

 

②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=

 

（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）将

1

n(n+1)

拆分即可求解；
（2）①②先拆分再抵消即可求解；
（3）先提取

1

4

，再拆分抵消即可求解．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

；
（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2012×2013

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

=

1

4

(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1005×1006

)
=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1005

-

1

1006

)
=

1

4

×(1-

1

1006

)=

1005

4024

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

2012

2013

；

n

n+1

．

点评：考查了有理数的混合运算，拆分抵消思想是解题的关键．