Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=

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3

BC，CE=

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3

AC，BE与AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE²=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，其中正确的是

 

．（填序号）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°；
②从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE²=DF•DA；
④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF•BE=AE•AC．

解答：解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∵BD=

1

3

BC，CE=

1

3

AC
∴BD=CE．
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°
∴∠ABE+∠CBE=60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=60°
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=

1

2

CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD²=DF•DA
∴CE²=DF•DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF•BE=AE•AC
∴④是对的；
故答案为：①，②，③，④．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了三角形外角与内角的关系，全等三角形，直角三角形，相似三角形的判定与性质，内容较多，题目较为复杂．