Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，当时，点坐标为；当时，点坐标为，则称点为点的分变换点（其中为常数）．例如：的0分变换点坐标为．

（1）点的1分变换点坐标为 ；点的1分变换点在反比例函数图像上，则 ；若点的1分变换点直线上，则 ；

（2）若点在二次函数的图像上，点为点的3分变换点．

①直写出点所在函数的解析式；

②求点所在函数的图像与直线交点坐标；

③当时，点所在函数的函数值，直接写出的取值范围；

（3）点，，若点在二次函数的图像上，点为点的分变换点．当点所在函数的图像与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（－5，－7），4，8；（2）①点Q所在函数的关系式为；②交点坐标为（－4，－5）或（，－5）；③t的取值范围为；（3）或或．

【解析】

（1）根据题意给的定义，即可得到答案；

（2）①设点Q的坐标为（a，b），分情况讨论，然后用a，b表示P的坐标，代入函数关系式整理变形即可；

②将y＝－5代入函数关系式求解即可；

③先画出函数图像，结合函数图像找到相应的端点，求出端点坐标即可判断t的取值范围；

（3）先求出Q所在的函数关系式，再画出相应的函数图像分情况讨论，分别讨论当函数经过端点A、B及函数图像的顶点在线段AB上时的m的值，进而可得m的取值范围．

解：（1）∵5＞1，

∴（5，7）的1分变换点为（－5，－7），

∵1≤1，

∴（1，6）的1分变换点为（－1，－4）

将（－1，－4）代入，得k＝4，

当a－1＞1时，（a－1，5）的1分变换点为（1－a，－5）

将（1－a，－5）代入y＝x＋2得，－5＝1－a＋2，

解得a＝8，

当a－1≤1时，（a－1，5）的1分变换点为（1－a，－3）

将（1－a，－3）代入y＝x＋2得，－3＝1－a＋2，

解得a＝6，（舍去）

∴a＝8，

故答案为：（－5，－7），4，8；

（2）①设点Q的坐标为（a，b）

当x＞3时，若点P的3分变换点为Q（a，b），则a＝－x，b＝－y，

∴x＝－a，y＝－b，

将x＝－a，y＝－b代入

得，

整理得：，

∴点Q所在函数的关系式为（x＜－3），

当x≤3时，若点P的3分变换点为Q（a，b），则a＝－x，b＝－y＋2，

∴x＝－a，y＝－b＋2

将x＝－a，y＝－b＋2代入

得，

整理得：，

∴点Q所在函数的关系式为（x≥－3），

综上所述，点Q所在函数的关系式为

②将y＝－5代入得

解得：（舍去）

将y＝－5代入得

解得：（舍去）

综上所述，点所在函数的图像与直线交点坐标为（－4，－5）或（，－5）

③如图，

由②可知经过点（－4，－5）

∵

所以此抛物线的顶点坐标为（－1，6），

将x＝－3代入得y＝0，

将y＝0代入得（舍去）

∵当时，点所在函数的函数值，

∴t的取值范围为；

（3）∵

∴

∵点在二次函数的图像上，

∴点Q在函数的图像上，

当m＞0时，

如图，当经过点A（－3，－1）时

则

解得（舍去）

如图，当的顶点在线段AB上时，

则，

解得（舍去）

∴，

如图，当的端点落在线段AB上时，

将代入

得

解得：（舍去）

如图，当经过点B（2，－1）时

则

解得：（舍去）

∴，

如图，当经过点B（2，－1）时

则

解得：（舍去）

如图，当的顶点在线段AB上时，

则

解得：（舍去）

∴，

综上所述，m的取值范围为：或或．