Question

9．如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．
（1）①延长BC交ED于点M，则MD=2，DC=1；
②求y关于x的函数解析式；
（2）当a≤x≤$\frac{1}{2}$（a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据两组对边平行得到四边形OFBQ，四边形EMBF是平行四边形，求出EM=BF=1，得到DM=2，通过△DMC∽△AEF，列比例式求得CD=1；②根据△EPO∽△EAF，列比例式即可求得y关于x的函数解析式；
（2）当a≤x≤$\frac{1}{2}$（a＞0）时，9a≤y≤6b，y随x的增大而减小，于是得到4-2×$\frac{1}{2}$=9a，4-2a=6b，解得结果即可．
（3）①当0≤x≤1时，1≤4-2x≤3，得到$\frac{1}{2}$≤x≤1，②当1≤x≤2时，y=-4x²-10x-4的对称轴为x=$\frac{5}{4}$，ymax=$\frac{9}{4}$，当x=1时，y=2满足要求，当y=1，x=$\frac{5±\sqrt{5}}{4}$，而5+$\frac{\sqrt{5}}{4}$＜2，得到1≤x≤$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$，于是得到结论．

解答 解：（1）①∵EF∥CB，PQ∥AB，
∴四边形OFBQ是平行四边形，
∴OQ=BF=1，
∵∠A=∠AED=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形EMBF是平行四边形，
∴EM=BF=1，
∵DE=3，
∴DM=2，
∵∠D=∠A=90°，∠DMC=∠B=∠EFA，
∴△DMC∽△AEF，
∴$\frac{DM}{AF}=\frac{CD}{AE}$，
∵AF=AB-BF=4，
∴$\frac{2}{4}=\frac{CD}{2}$，
∴CD=1；
故答案为：2，1；
②∵AP=x，EP=2-x，
在RT△AEF中，tan∠AEF=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴PO=PE•tan∠AEF=2×（2-x）=-2x+4．
当0＜x≤1时，
∵OQ=FB=1，
∴y=PO•OQ=（-2x+4）×1=-2x+4；

当1＜x≤2时，
∵PQ=3，∴OQ=3-OP，
∵PO•OQ=y，
∴y=PO（3-PO）=（-2x+4）（3+2x-4）=-4x²+10x-4，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4（0＜x≤1）}\\{-4{x}^{2}+10x-4（1＜x≤2）}\end{array}\right.$；

（2）当a≤x≤$\frac{1}{2}$（a＞0）时，9a≤y≤6b，
∵y=-2x+4，
∴y随x的增大而减小，
∴4-2×$\frac{1}{2}$=9a，4-2a=6b，
解得：a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{5}{12}$；

（3）图象如图所示，
①当0＜x≤1时，1≤4-2x≤3，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤1，
②当1＜x≤2时，y=-4x²+10x-4的对称轴为x=$\frac{5}{4}$，y_max=$\frac{9}{4}$，
当y=1，x=$\frac{5±\sqrt{5}}{4}$，而$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$＜2，
∴1≤x≤$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$，
综上所述：当1≤y≤3时，x的取值范围为$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解不等式组，求一次函数的解析式，根据三角形相似列比例式求一次函数的解析式是解题的关键．