Question

（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=

1

4

x2+mx+n的图象经过点A（2，0）和点B（1，-

3

4

），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y₁随时间t（t≥0）的变化规律为y₁=-

3

4

+2t．现以线段OP为直径作⊙C．
①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．
②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y₂随时间t的变化规律为y₂=-1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a²的最大值．

Answer 1

分析：（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．
②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．
在第二问中，a²最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长，此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．

解答：解：（1）将点A（2，0）和点B（1，-

3

4

）分别代入y=

1

4

x²+mx+n中，得：

1 4 ×4+2m+n=0 1 4 +m+n=- 3 4

，
解得：

m=0 n=-1

，
∴抛物线的解析式：y=

1

4

x²-1；

（2）①将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：

1

4

x²-1=-

3

4

+2t，x=

8t+1

，
∴P（

8t+1

，-

3

4

+2t），
∴圆心C（

8t+1

2

，-

3

8

+t），
∴点C到直线l的距离：-

3

8

+t-（-1）=t+

5

8

；
而OP²=8t+1+（-

3

4

+2t）²，得OP=2t+

5

4

，半径OC=t+

5

8

；
∴直线l与⊙C始终保持相切．
②Ⅰ、当圆心C在直线l上时，-

3

8

+t=-1+3t，t=

5

16

；
此时直线l与⊙C相交；
  当0＜t≤

5

16

时，C到直线l的距离：-

3

8

+t-（-1+3t）=

5

8

-2t＜t+

5

8

，
∴直线l与⊙C相交；
  当t＞

5

16

时，C到直线l的距离：-1+3t-（-

3

8

+t）=2t-

5

8

，
若直线l与⊙C相交，则：2t-

5

8

＜t+

5

8

，t＜

5

4

；
  综上，当0＜t＜

5

4

时，直线l与⊙C相交；
Ⅱ、∵0＜t＜

5

4

时，圆心C到直线l的距离为d=|2t-

5

8

|，又半径为r=t+

5

8

，
∴a²=4（r²-d²）=4[（t+

5

8

）²-|2t-

5

8

|²]=-12t²+15t，
∴t=

5

8

时，a的平方取得最大值为

75

16

．

点评：该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解．