Question

给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150°？并说明理由．

Answer 1

考点：多边形内角与外角

专题：

分析：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角都等于30°，根据凸n边形的n个外角和为360°可计算出k≤12，当n=12时，k有最大值12，再讨论当n＞12时，当n=3，4，5，6，7时；当n=8，9，10，11时，k的值．

解答：解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角都等于30°，
而凸n边形的n个外角和为360°，所以k≤

360

30

=12，
只有当n=12时，
k才有最大值12．
下面我们讨论n≠12时的情况：
（1）当n＞12时，显然，k的值是11；
（2）当n=3，4，5，6，7时，k的值分别为1，2，3，4，5；
（3）当n=8，9，10，11时，k的值分别为7，8，9，10．
综上所述，当3≤n≤7时，凸n边形最多有n-2个内角等于150°；
当8≤n≤11时，凸n边形最多有n-1个内角等于150°；
当n=12时，凸n边形最多有12个内角等于150°；
当n＞12时，凸n边形最多有11个内角等于150°．

点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．