Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直于AB于P，
（1）若CD=8cm，∠B=30°，求⊙O的半径；
（2）若弦AE交CD于F，求证：AC²=AF•AE．

Answer 1

分析：（1）连接OC，求出BP，设⊙O半径是R，由勾股定理得出方程4²+（4

3

-R）²=R²，求出即可；
（2）求出∠ACF=∠AEC，证出△ACF∽△AEC即可．

解答：
解：（1）连接OC，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CP=DP=

1

2

CD=

1

2

×8=4，
∵∠B=30°，
∴BC=2CP=8，由勾股定理得：BP=4

3

，
设⊙O半径是R，则OC=R，OP=（4

3

-R），
在Rt△CPO中，由勾股定理得：4²+（4

3

-R）²=R²，
R=

8 3

3

，
即⊙O半径是

8 3

3

．

（2）证明：
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ACP=∠AEC，
∵∠CAF=∠CAE，
∴△ACF∽△AFC，
∴

AC

AE

=

AF

AC

，
即AC²=AF•AE．

点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，用了方程思想．