题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2011=分析：先求出A1，A2，A3，…An和点B1，B2，B3，…Bn的坐标，利用三角形的面积公式计算△OA1B1的面积；四边形A1A2B2B1的面积，四边形A2A3B3B2的面积，…四边形An-1AnBnBn-1的面积，则通过两个三角形的面积差计算，这样得到Sn=n-
，然后把n=2011代入即可．
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，
∴A1（1，1），A2（2，2），A3（3，3）…An（n，n），
又∵函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn，
∴B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…Bn（n，2n），
∴S1=
•1•（2-1），
S2=
•2•（4-2）-
•1•（2-1），
S3=
•3•（6-3）-
•2•（4-2），
…
Sn=
•n•（2n-n）-
•（n-1）[2（n-1）-（n-1）]
=
n2-
（n-1）2
=n-
．
当n=2011，S2011=2011-
=2010.5．
故答案为2010.5．
∴A1（1，1），A2（2，2），A3（3，3）…An（n，n），
又∵函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn，
∴B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…Bn（n，2n），
∴S1=
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| 2 |
S2=
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| 2 |
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| 2 |
S3=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
…
Sn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=n-
| 1 |
| 2 |
当n=2011，S2011=2011-
| 1 |
| 2 |
故答案为2010.5．
点评：本题考查了两条直线交点坐标的求法：利用两个图象的解析式建立方程组，解方程组即可；也考查了三角形的面积公式以及梯形的面积公式．
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