题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
分析：若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况：
①△APQ∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：AB；
②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP：BC．
可根据上述两种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．
①△APQ∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：AB；
②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP：BC．
可根据上述两种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．
解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，
所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，
①当△ABC∽△PAQ时，
=
，
所以
=
，
解得：t=
；
②当△ABC∽△QAP时，
=
，
所以
=
，
解得：t=
．
故当t=
或t=
时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，
①当△ABC∽△PAQ时，
| AB |
| AP |
| BC |
| AQ |
所以
| 15 |
| 2t |
| 10 |
| 10-t |
解得：t=
| 30 |
| 7 |
②当△ABC∽△QAP时，
| CB |
| AP |
| BA |
| AQ |
所以
| 10 |
| 2t |
| 15 |
| 10-t |
解得：t=
| 5 |
| 2 |
故当t=
| 30 |
| 7 |
| 5 |
| 2 |
点评：此题主要考查了矩形的性质及相似三角形的判定和性质；当相似三角形的对应角和对应线段不明确时，应考虑到所有可能的情况，分类讨论，以免漏解．
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．
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