题目内容
用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；
（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；
（3）如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．
解答：解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×
=
，
∴CP=CF•tan∠CFP=
×
=1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=
BC=
，
∴PG=CG-CP=
-1=
．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=
=
=
．
（2）由（1）可知，FC=
．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC=
长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=
．
过点A过AG⊥BC于点G，则AG=
BC=
．
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG=
=
=
，
∴∠P1AG=30°，
∴∠P1AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．
探究二：△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD与△CND中，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN=
BC-CN=
-x．
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN=
=
=
=
．
△AMN的周长为：AM+AN+MN=
+
，
当x=
时，有最小值，最小值为
+
=
．
∴△AMN周长的最小值为
．
点评：本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．
（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；
（3）如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．
解答：解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×
=，∴CP=CF•tan∠CFP=
×=1．过点A作AG⊥BC于点G，则AG=
BC=，∴PG=CG-CP=
-1=．在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=
==．（2）由（1）可知，FC=
．如答图2所示，以点A为圆心，以FC=
长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．过点A过AG⊥BC于点G，则AG=
BC=．在Rt△AGP1中，cos∠P1AG=
==，∴∠P1AG=30°，
∴∠P1AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．
探究二：△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD与△CND中，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN=
BC-CN=-x．在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN=
===．△AMN的周长为：AM+AN+MN=
+，当x=
时，有最小值，最小值为+=．∴△AMN周长的最小值为
．点评：本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．
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