Question

【题目】已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为．

（1）如图，当时，求的长；

（2）设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域；

（3）当是等腰三角形时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(且)；（3）当是等腰三角形时，的长是6或．

【解析】

（1）过作，利用求出CH，根据勾股定理求出AH，再证明四边形是矩形，得到，再根据，求出，从而求出AD；

（2）根据题意证明，得到，故，在中，利用勾股定理得到故得到，即可得到关于的函数解析式；

（3）先证明，再分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，根据y与x的函数关系与三角函数的定义求解即可．

解：（1）过作，垂足为，

∵在中，，且，，

∴．

∵在中，，

∴

∴在中，，

∵，且，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴

∵在中，，且

∴，得：

∴

（2）∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴

∴，

∵，，

∴

∵在中，

∴，即(且)

（3）由，得：，

又有，

∴

∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形

∴1°当时，不存在；

2°当时，得：，即

解得：(舍)，

3°当时，在中由

得：，解得：(舍)，

∴综上所述，当是等腰三角形时，的长是6或．