Question

已知：平行四边形ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程x2-kx+

k

2

-

1

4

=0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k为何值时，四边形ABCD是菱形？
（3）当k为何值时，四边形ABCD的两条对角线的长相等，且都等于

10

2

？求出这时四边形ABCD的周长和面积．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（

k

2

-

1

4

）≥0，m+n=k＞0，mn=

k

2

-

1

4

＞0，求出不等式组的解集即可；
（2）根据菱形的性质得出m=n，即可得出方程有两个相等的实数根，即△=0，求出即可；
（3）得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积．

解答：解：（1）
∵平行四边形ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程x2-kx+

k

2

-

1

4

=0的两个实数根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（

k

2

-

1

4

）≥0，m+n=k＞0，mn=

k

2

-

1

4

＞0，
（k-1）²≥0，k＞0，k＞

1

2

，
即k的取值范围是k＞

1

2

；

（2）∵要使四边形是菱形，则m=n，即方程有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（

k

2

-

1

4

）=0，
即k=1，
∴当k为1时，四边形ABCD是菱形；

（3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：m²+n²=（

10

2

）²，
即（m+n）²-2mn=

5

2

，
∵m+n=k，mn=

k

2

-

1

4

，
∴k²-2（

k

2

-

1

4

）=

5

2

，
k₁=2，k₂=-1（因为由（1）得出k＞

1

2

，所以此时的值舍去），
把k=2代入方程得：x²-2x+

3

4

=0，
解方程得：m=

1

2

，n=

3

2

或n=

1

2

，m=

3

2

，
∴矩形ABCD的周长是2×（

1

2

+

3

2

）=4，面积是

1

2

×

3

2

=

3

4

．
即此时四边形ABCD的周长是4，面积是

3

4

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．