题目内容
【题目】已知：如图1，直线y= 
x+6与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2． 
（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD=2S△PAD ， 求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y=﹣x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN=∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q的坐标．
【答案】
（1）解：在y= 
x+6中，
令x=0，则y=6；令y=0，则x=﹣8，
∴A（﹣8，0），C（0，6），
∵点B的横坐标为2，
∴B（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），则
把C（0，6）代入，得6=a×（﹣16），
∴a=﹣ 
，
∴y=﹣ （x+8）（x﹣2），
即 
（2）解：如图所示，过P作PH⊥AO于H，
∵S△PCD=2S△PAD，
∴AP：PC=1：2，
∵PH∥CO，
∴AH：HO=1：2，
即OH= 
AO，
又∵AO=8，
∴OH=8× = 
，
∴点P的横坐标为 
，
在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P的坐标为（ ，2）
（3）解：分两种情况：
①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等，
∵直线y=﹣x与直线y= x+6交于点M，
∴M（﹣ 
， ），
又∵A（﹣8，0），
∴由两点间距离公式可得AM= 
= 
，
∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，
∴△AMN∽△AOM，
∴AM2=AN×AO，即（ ）2=AN×8，
∴AN= 
，
∴ON=AO﹣AN= 
，
即N（﹣ ，0），
∴由两点间距离公式可得MN= 
，MO= 
，
∵MQ1平分∠NMO，
∴ 
= 
= 
，
∴OQ1= 
NO= 
= 
，
即点Q1的坐标为（ 
，0）；
②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，
根据Q1（ ，0），M（﹣ ， ），可得
直线MQ1解析式为y=﹣3x﹣ 
，
∵MQ1⊥MQ2，
∴可设直线MQ2解析式为y= 
x+b，
把M（﹣ ， ）代入，可得b= 
，
∴直线MQ2解析式为y= x+ ，
∴当y=0时，0= x+ ，
解得x=﹣ 
，
即点Q2的坐标为（ 
，0）．
综上所述，点Q的坐标为（ ，0）或（ ，0）
【解析】（1）根据直线y= x+6，可得A（﹣8，0），C（0，6），设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），把C（0，6）代入，可得抛物线的函数关系式；（2）过P作PH⊥AO于H，根据S△PCD=2S△PAD ， 可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，进而得到OH= AO=8× = ，在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，可得点P的坐标为（ ，2）；（3）分两种情况进行讨论：①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等；②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，根据相似三角形的性质求得N（﹣ ，0），再根据角平分线的性质可得点Q1的坐标为（ ，0）；最后根据MQ1⊥MQ2 ， 可得直线MQ2解析式为y= x+ ，进而得到点Q2的坐标为（ ，0）．
【考点精析】通过灵活运用角平分线的性质定理和相似三角形的判定与性质，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．
