Question

【题目】如图，是⊙的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点．

（1）连接，求；

（2）点在上，，DF交于点．若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据垂径定理可得AB垂直平分CD，再根据M是OA的中点及圆的性质，得出△OAD是等边三角形即可；

（2）根据题意得出∠CNF=90°，再由Rt△CDE计算出CD，CN的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出∠F=60°，从而根据三角函数关系计算出FN的值即可．

解：（1）如图，连接OD，

∵是⊙的直径，于点

∴AB垂直平分CD，

∵M是OA的中点，

∴

∴

∴∠DOM=60°，

又∵OA=OD

∴△OAD是等边三角形

∴∠OAD=60°．

（2）如图，连接CF，CN，

∵OA⊥CD于点M，

∴点M是CD的中点，

∴AB垂直平分CD

∴NC=ND

∵∠CDF=45°，

∴∠NCD=∠NDC=45°，

∴∠CND=90°，

∴∠CNF=90°，

由（1）可知，∠AOD=60°，

∴∠ACD=30°，

又∵交的延长线于点，

∴∠E=90°，

在Rt△CDE中，∠ACD=30°，，

∴

在Rt△CND中，∠CND=90°，∠NCD=∠NDC=45°，，

∴

由（1）可知，∠CAD=2∠OAD=120°，

∴∠F=180°-120°=60°，

∴在Rt△CFN中，∠CNF=90°，∠F=60°，，

∴