Question

【题目】已知，如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B在x轴上，点B的横坐标为，抛物线经过A、B、C三点．点D是直线AC上方抛物线上任意一点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若P为线段AC上一点，且S△PCD=2S△PAD，求点P的坐标；

（3）如图2，连接OD，过点A、C分别作AM⊥OD，CN⊥OD，垂足分别为M、N．当AM+CN的值最大时，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）点P的坐标为（﹣，1）；（3）当AM+CN的值最大时，点D的坐标为（，）．

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，由点B所在的位置结合点B的横坐标可得出点B的坐标，根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数关系式；

（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，则△APE∽△ACO，由△PCD、△PAD有相同的高且S△PCD=2S△PAD，可得出CP=2AP，利用相似三角形的性质即可求出AE、PE的长度，进而可得出点P的坐标；

（3）连接AC交OD于点F，由点到直线垂线段最短可找出当AC⊥OD时AM+CN取最大值，过点D作DQ⊥x轴，垂足为点Q，则△DQO∽△AOC，根据相似三角形的性质可设点D的坐标为（﹣3t，4t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其负值即可得出t值，再将其代入点D的坐标即可得出结论．

（1）∵直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点，

∴点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，3）．

∵点B在x轴上，点B的横坐标为，

∴点B的坐标为（，0），

设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），

将A（﹣4，0）、B（，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，得：

，解得： ，

∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣x+3；

（2）如图1，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，

∵△PCD、△PAD有相同的高，且S△PCD=2S△PAD，

∴CP=2AP，

∵PE⊥x轴，CO⊥x轴，

∴△APE∽△ACO，

∴，

∴AE=AO=，PE=CO=1，

∴OE=OA﹣AE=，

∴点P的坐标为（﹣，1）；

（3）如图2，连接AC交OD于点F，

∵AM⊥OD，CN⊥OD，

∴AF≥AM，CF≥CN，

∴当点M、N、F重合时，AM+CN取最大值，

过点D作DQ⊥x轴，垂足为点Q，则△DQO∽△AOC，

∴，

∴设点D的坐标为（﹣3t，4t）．

∵点D在抛物线y=﹣x2﹣x+3上，

∴4t=﹣3t2+t+3，

解得：t1=﹣（不合题意，舍去），t2=，

∴点D的坐标为（，），

故当AM+CN的值最大时，点D的坐标为（，）．