题目内容
如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）做题首先要画示意图，如图．由折叠知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，进而可由AB边的关系知，若E平分FP，则BP=
AB，AP=
AB．由已知分析易得CP⊥QP，则△QAP∽△PBC，即由边之间的成比例得关于AQ的方程，解出即可．
（2）由（1）易得EP=BP，FP=AP，PB+AP=10．线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2，但有两种可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到两个关系式，易得结论．
（3）“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者，思考点P运动即折纸特点，QF不能与A共线．当CE与QF共线时，P点恰为AB中点，如图，两线段都在CD上．当CE与A共线时，即连接对角线AC，CE在AC上，此时△AEP∽△ABC，进而AP的长易得．
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（2）由（1）易得EP=BP，FP=AP，PB+AP=10．线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2，但有两种可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到两个关系式，易得结论．
（3）“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者，思考点P运动即折纸特点，QF不能与A共线．当CE与QF共线时，P点恰为AB中点，如图，两线段都在CD上．当CE与A共线时，即连接对角线AC，CE在AC上，此时△AEP∽△ABC，进而AP的长易得．
解答：解：（1）由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，则△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB=
，
∴AP=
．
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
在△QAP和△PBC中，
，
∴△QAP∽△PBC，
∴
=
，
∴
=
，
∴QA=
．
（2）由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
当EP-PF=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PB-AP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
当PF-EP=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴AP-PB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的长为1或3．
（3）①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上，
在△AEP和△ABC中，
，
∴△AEP∽△ABC，
∴
=
．
设AP=x，则EP=BP=4-x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2
，
∴
=
．
解得 x=5-
．
②若CE与QF在同一直线上，如图3，
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB=
| 4 |
| 3 |
∴AP=
| 8 |
| 3 |
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
在△QAP和△PBC中，
|
∴△QAP∽△PBC，
∴
| QA |
| PB |
| AP |
| BC |
∴
| QA | ||
|
| ||
| 2 |
∴QA=
| 16 |
| 9 |
（2）由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
当EP-PF=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PB-AP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
当PF-EP=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴AP-PB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的长为1或3．
（3）①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上，在△AEP和△ABC中，
|
∴△AEP∽△ABC，
∴
| AP |
| EP |
| AC |
| BC |
设AP=x，则EP=BP=4-x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2
| 5 |
∴
| x |
| 4-x |
2
| ||
| 2 |
解得 x=5-
| 5 |
②若CE与QF在同一直线上，如图3，
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．
点评：本题考查的是折叠、重合的几何性质--图形全等，这一点我们可以直接使用．另外还考查了我们的思维想象能力，对于根据某点折叠，运动中图形的变化我们需要有一个大概的认识，做题时如果想象困难，可以利用手边的演算纸现场理解．
练习册系列答案
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A、
| ||
B、
| ||
| C、ax% | ||
| D、a（1-x%） |
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| ||
B、点P在抛物线y=
| ||
C、点P在抛物线y=
| ||
D、点P在抛物线y=
|
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