Question

19．已知∠AOB=90°，∠COD=30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数．
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜＜90）时，如图2，∠AOE-∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义知∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB、∠BOF=$\frac{1}{2}$∠COD，再根据∠EOF=∠EOB+∠BOF可得答案；
（2）由题意知∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+n°、∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+30°，根据角平分线的定义得$∠AOE=\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{90°+n°}{2}$、∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{n°+30°}{2}$，代入计算可得．

解答 解：（1）∵OE平分∠AOC，
∴∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF
=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠COD
=$\frac{1}{2}$×90°+$\frac{1}{2}$×30°
=60°；

（2）是定值，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+n°，
∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+30°，
∴$∠AOE=\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{90°+n°}{2}$，
∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{n°+30°}{2}$，
∴∠AOE-∠BOF=$\frac{90°+n°}{2}$-$\frac{n°+30°}{2}$=30°，
∴∠AOE-∠BOF是定值．

点评 本题主要考查角的计算和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．