Question

【题目】如图所示，是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，设该矩形的长毫米，宽毫米.

（1）求证：；

（2）当与分别取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

（3）当矩形的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而，的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当毫米，毫米时，矩形面积最大，最大面积为2400平方毫米；（3）a=10，b=15或a=15，b=10.

【解析】

（1）易证△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；
（2）矩形PQMN的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；
（3）根据（2）中求得的长与宽的数值，利用根与系数的关系即可求得p，q的数值，根据众数与中位数的定义即可求得a与b的值．

（1）证明：根据已知条件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，

∴，

∴，即，

∴，；

（2）解：设矩形PQMN的面积为S，则

，，

∴当时，有最大值2400，

此时，故当毫米，毫米时，矩形面积最大，最大面积为2400平方毫米；

（3）解：由根与系数的关系，得，解得，

∵，10，12，13，众数为10，

∴或，

当时，有，解得 ，

当时，同理可得.