Question

如图，在直角坐标系中，点M在y轴的正半轴上，⊙M与x轴交于A，B两点，AD是⊙M的直径，过点D作⊙M的切线，交x轴于点C．已知点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（5，0）．
（1）求点B的坐标和CD的长；
（2）过点D作DE∥BA，交⊙M于点E，连接AE，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）A点坐标为（-3，0），则B点坐标为（3，0），再根据点C的坐标为（5，0），就可以求出BC与AC的长，根据切割线定理得到CD²=CB•CA，就可以求出CD的长．
（2）根据DE∥BA，得到

AE

=

DB

，所以AE=DB；因而就可以把求AE的问题转化为求BD的问题，在直角△BDC中，根据勾股定理就可以求得．

解答：解：（1）∵MO⊥AB，
∴OA=OB．
∵A点坐标为（-3，0），
∴B点坐标为（3，0）；（2分）
∵CD是⊙M的切线，
∴CD²=CB•CA=2×8=16，
∴CD=4．（3分）

（2）∵AD是直径，
∴DB⊥AB，
∴BD=

DC2-BC2

=

42-22

=2

3

；（2分）
∵DE∥BA，
∴

AE

=

DB

，
∴AE=DB，
∴AE=2

3

．（2分）

点评：本题主要考查了切割线定理，并且考查了同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等．