Question

如图，反比例函数y=（x＜0）的图象上到原点O的距离最小的点为A，连OA，将线段OA平移到线段CD，点O的对应点C（1，2）且点D也在反比例函数y=（x＜0）的图象上时，则k的值为

1. A.
   -2
2. B.
   -6
3. C.
   -4
4. D.
   6

Answer 1

C
分析：首先设点A的坐标为：（x，y），可得xy=k，由反比例函数y=（x＜0）的图象上到原点O的距离最小的点为A，可得y=-x，又由将线段OA平移到线段CD，点O的对应点C（1，2）且点D也在反比例函数y=（x＜0）的图象上，可得点D的坐标为；（x+1，y+2），继而求得点A的坐标，即可求得答案．
解答：设点A的坐标为：（x，y），
∴xy=k，
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵OA²=x²+y²≥2|xy|，
∴当|x|=|y|时，OA²最小，
即当y=-x时，OA最小，
∵将线段OA平移到线段CD，点O的对应点C（1，2）且点D也在反比例函数y=（x＜0）的图象上，
∴点D的坐标为：（x+1，y+2），
∴（x+1）（y+2）=k，
∴xy+2x+y+2=k，
即2x+y=-2，
∴2x-x=-2，
解得：x=-2，y=2，
∴点A的坐标为：（-2，2），
∴k=xy=-2×2=-4．
故选C．
点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式以及几何不等式的应用．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．