Question

6．如图，直线l₁：y=-x+3与x轴相交于点A，直线l₂：y=kx+b经过点（3，-1），与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线l₁相交于点D．
（1）求直线l₂的函数关系式；
（2）点P是l₂上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点（3，-1），点B（6，0）代入直线l₂，求出k、b的值即可；
（2）设点P的坐标为（t，$\frac{1}{3}$t-2），求出D点坐标，再由S_△ABP=2S_△ABD求出t的值即可；
（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．

解答 解：（1）由题知：$\left\{\begin{array}{l}-1=3k+b\\ 0=6k+b\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=-2\end{array}\right.$，
故直线l₂的函数关系式为：y=$\frac{1}{3}$x-2；

（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t，$\frac{1}{3}$t-2）．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-x+3\\ y=\frac{1}{3}x-2\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{15}{4}\\ y=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（$\frac{15}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．
∵S_△ABP=2S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}$AB•|$\frac{1}{3}$t-2|=2×$\frac{1}{2}$AB•|-$\frac{3}{4}$|，即|$\frac{1}{3}$t-2|=$\frac{3}{2}$，解得：t=$\frac{21}{2}$或t=$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{21}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$-\frac{3}{2}$）；

（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．
由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．
∵点A（3，0），
∴A′（3，6）
∵点B（6，0），
∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．
∵点Q（m，3）在直线A′B上，
∴3=-2m+12
解得：m=$\frac{9}{2}$，
故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（$\frac{9}{2}$，3）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式等知识，在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．