Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点.过点作轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点，交一次函数的图象于点，连接.

（1）求这两个函数的表达式；

（2）求的面积；

（3）在轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）14；（3），.

【解析】

（1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值，此题的解；

（2）由点P的坐标可得出点B、C的坐标，进而可得出BC的长度，由OP的长度结合三角形的面积公式即可求出△OBC的面积；
（3）假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0），假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0），因为为直角三角形，所以要分AO是直角边和AO是斜边两种情况.根据图形，利用勾股定理，求出m即可.

解：（1）∵正比例函数与一次函数的图象相交于点，

∴，，

解得：，，

∴正比例函数表达式为；

一次函数表达式为.

（2）∵轴，，

∴把分别代入和中，

得：，，

∵.

又∵，

∴.

（3）假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0），

∵为直角三角形，
∴分AO是直角边和AO是斜边两种情况.

∵

∴AO=

①当AO是斜边时，有AM=6,OM=m

则：

解得：m=±8，

当m=-8不符合题意，故舍弃，
∴点；

②当AO直角边时，利用勾股定理可得AM2=62+（m-8）2,

∵ OM=m，AO=10

∴在Rt△OAM中，

则：

解得：m=±，

当m=-不符合题意，故舍弃，
所以，.