Question

如图，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．F是BC边上的点，过F点的反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象与AC边交于点E．若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，求点F的坐标．

Answer 1

分析：过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=DF，易证Rt△MEM∽Rt△BMF；而EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，得到EM=4-

k

3

，MF=3-

k

4

，即可得

EM

MF

的比值；故可得出EM：MB=ED：MF=4：3，而ED=3，从而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可得到F点的坐标．

解答：解：∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=MF，
∴∠MME+∠FMB=90°，
而EM⊥OB，
∴∠MME+∠MEM=90°，
∴∠MEM=∠FMB，
∴Rt△MEM∽Rt△BMF；
又∵EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，
∴EM=4-

k

3

，MF=3-

k

4

，
∴

EM

MF

=

4- k 3

3- k 4

=

4

3

；
∴ED：MB=EM：MF=4：3，而ED=3，
∴MB=

9

4

，
在Rt△DBF中，MF²=MB²+MF²，即（3-

k

4

）²=（

9

4

）²+（

k

4

）²，
解得k=

21

8

，
∴反比例函数解析式为y=

21

8x

，
把x=4代入得y=

21

32

，
∴F点的坐标为（4，

21

32

）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点，折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识，难度适中．