Question

在△ABC中，AB=AC=6，作边AC的垂直平分线，与AC交于点D，与直线AB交于点E，与直线BC交于点F，若DE=4，则CF=

 

．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：作出图形，根据线段垂直平分线的定义可得AD=CD=

1

2

AC，利用勾股定理求出AE，再求出BE，过点G作BG⊥AC于G，利用平行线分线段成比例定理求出DG，再求出CG，然后求出△CBG和△CFD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，再利用勾股定理列式求出CF即可．

解答：解：如图，∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD=

1

2

AC=3，
由勾股定理得，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5，
∵AB=6，
∴BE=AB-AE=6-5=1，
过点G作BG⊥AC于G，
则DE∥BG，
∴

AE

BE

=

AD

DG

，
即

5

1

=

3

DG

，
解得DG=

3

5

，
所以，CG=CD-DG=3-

3

5

=

12

5

，
∴BG=

AB2-AG2

=

62-(3+ 3 5 )2

=

24

5

，
∵DE∥BG，
∴△CBG∽△CFD，
∴

BG

DF

=

CG

CD

，
即

24 5

DF

=

12 5

3

，
解得DF=6，
在Rt△CDF中，CF=

DF2+CD2

=

62+32

=3

5

．
故答案为：3

5

．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并最后求出DF的长是解题的关键，作出图形更形象直观．