题目内容

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为
9+(12-x)2
+
4+x2
9+(12-x)2
+
4+x2
；
（2）当AC+CE的值最小时，最小值为
13
13
；
（3）仿照（1）（2）中的方法，构造图形并求出代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值．（图中的线段标出必要的数和字母）
分析：1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值．
解答：解：（1）AC+CE=
BC2+AB2
+
CD2+DE2
=
9+(12-x)2
+
4+x2
，即AC+CE=
9+(12-x)2
+
4+x2
；
故填：
9+(12-x)2
+
4+x2
；

（2）当点C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小．
如图1所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD．
AE=
AF2+EF2
=
122+(3+2)2
=13．
故填：13；

（3）如图2所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，
DB=24，连接AE交BD于点C，
∵AE=AC+CE=
x2+9
+
(24-x)2+16
，
∴AE的长即为代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=3，AF=BD=12．
所以AE=
AF2+EF2
=
242+(3+4)2
=25，即AE的最小值是25．
所以代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值为25．
点评：本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
练习册系列答案
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精英家教网如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，则AC+CE的最小值是
 
．
（2012•青田县模拟）为了探索代数式
x2+1
+
(8-x)2+25
的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=
x2+1
，CE=
(8-x)2+25
，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得
x2+1
+
(8-x)2+25
的最小值等于
10
10
，此时x=
4
3
4
3
；
（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值．
如图，C为线段BD上一点，BC=3，CD=2．△ABC、△ECD均为正三角形，AD交CE于F，则S△ACF：S△DEF的值为（　　）
如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠AFG的度数；
（3）求证：CG=CH．
如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设BC=x．

（1）当BC的长为多少时，点C到A、E两点的距离相等？
（2）用含x的代数式表示AC+CE的长；问点A、C、E满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点M（0，4），N（3，2），请根据（2）中的规律和结论构图在x轴上找一点P，使PM+PN最小，求出点P坐标和PM+PN的最小值．

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