Question

如图，直线y=x+2与抛物线（a≠0）相交于A和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【解析】
（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上

∴m=6,即B(4，6)

∵A和B（4，6）在抛物线上

∴

解得

∴抛物线的解析式；

（2）存在.

设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2-8n+6），

∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），

=-2n2+9n-4，

=-2（n-）²+

∵-2＜0，

∴当n=时，线段PC最大且为．

【解析】

试题分析：（1）将点B（4，m）代入直线解析式y=x+2，求得m的值，确定B点坐标，将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值；（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．

考点：二次函数综合题.