Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是劣弧AB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝ 4 ，求△ABC的周长.

                                                          

Answer 1

解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，

∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.理由如下：

由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，

则∠CAB＝2∠DAB，∠CBA＝2∠DBA，

 ∴∠DAB ﹢ ∠DBA＝﹙∠CAB + ∠CBA﹚。

又因为∠DAB＋∠DBA＝∠AOB＝60°，

所以∠CAB＋∠CBA＝120°，

所以∠ACB＝180°- ﹙CAB＋∠CBA﹚ = 60°；

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，   ∴＝4，    ∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线，    ∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CD ＝ 2 GD  

∴ CG＝DG＝DE，   ∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，

解得DE＝，

∴△ABC的周长为．