Question

【题目】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若cos∠PAB=，BC=2，求PO的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）连接OB，根据圆周角定理得到ABC=，证明≌，得到OBP=OAP，根据切线的判定定理证明；

（2）根据余弦的定义求出AO，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

（1）证明：连接OB，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC＝，

∵ABPO，

∴POBC

∴AOP＝C，POB=OBC，OB=OC，

∴OBC＝C，AOP=POB

在和中，

∴≌

∴OBP=OAP，

∵PA为⊙O的切线，

∴OBP=OAP=，

∴PA为⊙O的切线；

（2）解：

∵PAB+BAC=，C+BAC=，

∴PAB=C，，

在RT△ABC中，

∴，

易证∽

∴

∴

故最后答案为5．