Question

如图，AB是⊙O的直径，

AM

=

BM

，C在

AM

上，且不与A、M重合，MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，连CM．
①求证：ME=MF；
②若AC=6，BC=8，求线段CM的长．

Answer 1

分析：（1）由于ME⊥CE、MF⊥CF，若证ME=MF，可证CM平分∠ECF；由于M是半圆AB的中点，因此∠MCB=45°，由圆周角定理易得∠ECB=∠ACB=90°，即可证得MC是∠ECB的平分线，由此得证．
（2）易证得四边形MECF是正方形；连接MA、MB，由于M是半圆AB的中点，易得MA=MB，即可证得△AEM≌△BFM，由此可得BF=AE，而BF+AE（即2BF）=BF+AC+CF=AC+BC，由此可求得BF的长，进而可得到CF的值，在等腰Rt△CFM中，即可求出斜边CM的长．

解答：（1）证明：连OM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠MOB=90°，
∴∠MCF=

1

2

∠MOB=45°，
∴∠ECM=45°，（2分）
∴MC平分∠ECF；
又∵EM⊥CE，MF⊥CB，
∴ME=MF．（4分）

（2）解：连接AM、BM；
由（1）得正方形EMFC，则MF=FC=CE，
∵

AM

=

BM

，
∴AM=BM，
又ME=MF，
∴Rt△MBF≌Rt△MAE，（6分）
∴BF=AE，
∴2BF=BF+AE，
∴2BF=BF+CF+AC=8+6=14，
∴BF=7，
∴CF=8-7=1，
∴CM=

2

CF，
∴CM=

2

．（8分）

点评：此题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形、正方形的性质，圆心角、弦的关系以及全等三角形的判定和性质等知识，难度较大．