Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q。
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形。

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时， 都有 ∴△ADQ≌△ ABQ； （2）△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时， 过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F， 则QE=QF  ∴ 由△DEQ∽△DAP得 解得 ∴时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的； （3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD ①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA 此时△ADQ是等腰三角形； ②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合， 此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形； ③如图，设点P在BC边上运动到CP=x时，有AD=AQ ∵ ∴  又∵， ∴ ∴  ∵ ∴ 即当时，△ADQ是等腰三角形。