Question

【题目】（1）观察猜想，如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为　 　；

（2）问题解决，如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；

（3）拓展延伸，如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，请直接写出BD的长．

Answer 1

【答案】（1）BC＝BD+CE；（2）3；（3）．

【解析】

（1）观察猜想：证明，可得结论：；

（2）问题解决：作辅助线，同理证明：，可得，，最后利用勾股定理求的长；

（3）拓展延伸：同理证明三角形全等，设，，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．

解：（1）观察猜想

结论：BC＝BD+CE，理由是：

如图①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，

∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，

∴∠D＝∠EAC，

∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，

∴△ADB≌△EAC（AAS），

∴BD＝AC，EC＝AB，

∴BC＝AB+AC＝BD+CE；

故答案为：BC＝BD+CE；

（2）问题解决

如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，

由（1）同理得：△ABC≌△DEA，

∴DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，

Rt△BDE中，BE＝9，

由勾股定理得：；

（3）拓展延伸

如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，

同理得：△CED≌△AFD，

∴CE＝AF，ED＝DF，

设AF＝x，DF＝y，

则，解得：，

，，

由勾股定理得：．