题目内容

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC中，点A、B的坐标分别为A（4，0）、B（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动（点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动），过点N作NP∥AB交AC于点P，连接MP．
（1）直接写出OA、AB的长度；
（2）试说明△CPN∽△CAB；
（3）在两点的运动过程中，求△MPA的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出 $数学公式$ 时，运动时间t的值．

解：（1）根据点A和B的坐标可直接得出OA=4，AB=3；

（2）∵四边形OABC为矩形，
∴AB⊥BC，
又∵NP⊥BC，
∴AB∥NP，
∴△CPN∽△CAB；

（3）设两点的运动时间为t小时，
∵AB=OB=3，OA=BC=4，
则CN=AM=4-t，
∵△CPN∽△CAB， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PN= $\text{[math]}$ （4-t），可求的P点的坐标为（4-t， $\text{[math]}$ t），
∴S_△MPA= $\text{[math]}$ （4-t）• $\text{[math]}$ t=- $\text{[math]}$ （t-2）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当t=2时，△MPA面积= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据点A和B的坐标可直接写出OA和AB的长度；
（2）根据四边形OABC为矩形，推出AB⊥BC，又知NP⊥BC，可推出AB∥NP，进而推出AB∥NP，可证△CPN∽△CAB；
（3）设两点的运动时间为x小时，由已知条件求出CN，然后根据△CPN∽△CAB，求出PN，即可求出点P的坐标，再将数值代入三角形面积公式，即可求解．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质等知识点的理解和掌握，此题综合性较强，涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题．