Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点F在AB上，连接CF，AE⊥CF于E，BD垂直CF的延长线于点D．若AE=4cm，BD=2cm，则EF的长是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$cm
• B． $\frac{2}{3}$cm
• C． 1cm
• D． $\frac{4}{3}$cm

Answer 1

分析 首先证明△AEC≌△CDB，得到CD=AE=4，CE=BD=2，于是ED=2，然后由AE∥BD，知△AEF∽△BDF，知$\frac{DF}{EF}=\frac{BD}{AE}=\frac{1}{2}$，所以EF=$\frac{2}{3}$ED=$\frac{4}{3}$．

解答 解：∵AE⊥CF，BD⊥CF，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△AEC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDB=90°}\\{∠CAE=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CDB，
∴CD=AE=4，CE=BD=2，
∴ED=2，
∵AE∥BD，
∴△AEF∽△BDF，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{BD}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴EF=$\frac{2}{3}$ED=$\frac{4}{3}$．
故选D．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质．利用三角形全等求出ED是解决问题的关键．