Question

如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上的一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于点P，MD与OA交于点N．
（1）求证：PM=PN；
（2）若BC=3，PA=BO，过点B作BC∥MP交⊙O于点C，求BO的长．

Answer 1

（1）证明：连接OM交BC于点Q，
∵PM是⊙O的切线，
∴OM⊥MP，
即∠OMP=90°，
∴∠PMN=90°-∠OMD，
∵∠PNM=∠OND=90°-∠ODM，
∵OD=OM，
∴∠OMD=∠ODM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；

（2）由（1）∠OMP=90°，
∵MP∥BC，
∴OM⊥BC，BC=3，
∴BQ=，
∵∠BOM+∠MOP=90°，∠P+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠P，
∴sin∠BOQ=sin∠P，
∴，
∵OB=OM=OA，
∴OP=OA+BO=BO，
∴，
∴OB=．
分析：（1）连接OM交BC于点Q，由PM是⊙O的切线，可得OM⊥MP，由同角的余角相等，易证得∠PMN=∠PNM，即可得PM=PN；
（2）由（1）∠OMP=90°，可得MP∥BC，即可求得BQ的长，又由三角函数的性质，易得sin∠BOQ=sin∠P，即可得，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、三角函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．