题目内容

如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S_△ABP=S_△AOB，请直接写出点P的坐标．

解：（1）∵直线AB的函数解析式y=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，

故直线AM的解析式y=x+6；

（2）设点P的坐标为：（x，x+6），
∴AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |x+6|，
过点B作BH⊥AM于点H，
∵OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMH=45°，
∴BH=BM•sin45°=6× $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∵S_△ABP=S_△AOB，S_△AOB= $\text{[math]}$ OA•OB= $\text{[math]}$ ×6×12=36，S_△ABP= $\text{[math]}$ AP•BH= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ |x+6|×3 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ |x+6|×3 $\text{[math]}$ =36，
解得：x=6或-18，
故点P的坐标为：（6，12）或（-18，-12）．
分析：（1）通过函数y=2x+12求出A、B两点坐标，又由点M为线段OB的中点，即可求得点M的坐标，然后由待定系数法求得直线AM的函数解析式；
（2）设出P点坐标，由两点间的距离公式，可求得AP的长，然后由等腰直角三角形的性质，求得B点到AM的距离，然后由S_△ABP=S_△AOB，可得方程 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ |x+6|×3 $\text{[math]}$ =36，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的一次解析式、等腰直角三角形的性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．