Question

【题目】是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接，．

（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；

（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由见详解.

【解析】

（1）由是等边三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，进而得到∠BPC=60°，即可求解；

（2）以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，

设点B（a，0），点P（x，0），根据坐标系中，中点坐标公式和两点间的距离公式，分别表示出MP，AP的长度，即可.

如图1，若，当时，n=60°，理由如下：

∵是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵，

∴∠CAP=∠CPA=30°，

∵

∴∠PBQ=∠CPA=30°，

∵，

∴，

∴∠Q=90°，

∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60°，

∴n=60°；

（2）当n=120°时，对于延长线上任意一点P，总有，理由如下：

以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，

设点B（a，0），点P（x，0），

∴PQ=PC=x，

∵∠CPQ=120°，

∴∠NPQ=180°-120°=60°，

过点Q作QH⊥x轴，则PH=x，QH=x,

∴点Q坐标为（，），

∵点M时BQ的中点，

∴点M的坐标为：

过点A作AE⊥x轴，则CE=CB，AE=CE，

∴点A坐标为： ，

∴AP==

MP==，

即：.

图1 图2