Question

【题目】如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．

（1）求证：；

（2）若的半径为5，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）连接OC，易证：RtPBO~RtPCO，根据等腰三角形三线合一，可得：OE是ABC的中位线，即可得证；

（2）由勾股定理得：，由母子相似三角形，可得：PO=，进而求出PB的长.

（1）连接OC，则OB=OC，

∵，是的两条切线，

∴PB=PC，∠PBO=∠PCO=90°，

在RtPBO和RtPCO中，

∵，

∴RtPBO~RtPCO（HL），

∴∠BPO=∠CPO，

∴BE=CE（等腰三角形三线合一），

∴OE是ABC的中位线，

∴；

（2）∵OE是ABC的中位线，

∴OE∥AC，，

∴∠OEB=∠ACB=90°，

∵，

∵PB是圆的切线，

∴∠PBO=90°，

∵∠BOE=∠POB，

∴BOE~ POB，

∴，即：，

∴PO=，

∴ .