题目内容
关于x的方程x2-（k+4）x+k2+4=0，其中k为整数．（1）判断
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（2）如果该方程两个不相等的根均为整数，求整数k的值并求出相应的整数根．
分析：（1）首先假设
+4是方程的根，则将其代入方程，整理可得关于k的一元二次方程，通过判别式可确定k无实数根，又由k为整数，推得矛盾，所以
+4不是该方程的根；
（2）首先由求根公式求得x的值，又由方程两个不相等的根均为整数，可得△是平方数，设△=m2，分析求解可知：m2=0，1，4，再依次分析即可求得答案．
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（2）首先由求根公式求得x的值，又由方程两个不相等的根均为整数，可得△是平方数，设△=m2，分析求解可知：m2=0，1，4，再依次分析即可求得答案．
解答：解：（1）如果
+4是该方程的一个根，
那么（
+4）2-（k+4）（
+4）+k2+4=0，
整理得：k2-（
+4）k+9+4
=0，
∴△=（
+4）2-4×（9+4
）=-15-8
＜0，
∴
+4不是该方程的根．
（2）由求根公式得：x=
，
∵方程两个不相等的根均为整数，
∴8k-3k2应该是完全平方数，
设8k-3k2=m2（m是整数），
∴3k2-8k+m2=0，
∴△=64-12m2≥0，即m2≤
，
∴m2=0，1，4，
如果m2=0，那么8k-3k2=0，得到k=0，原方程有两个相等的根；
如果m2=1，那么8k-3k2=1，经计算此时k不是整数；
如果m2=4，那么8k-3k2=4，∵k是整数，∴得到k=2，此时愿方程化为x2-6x+8=0，两根分别为2，4；
∴当k=2时，原方程有两个不相等的整数根，分别为2，4．
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那么（
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整理得：k2-（
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∴△=（
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∴
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（2）由求根公式得：x=
k+4±
| ||
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∵方程两个不相等的根均为整数，
∴8k-3k2应该是完全平方数，
设8k-3k2=m2（m是整数），
∴3k2-8k+m2=0，
∴△=64-12m2≥0，即m2≤
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∴m2=0，1，4，
如果m2=0，那么8k-3k2=0，得到k=0，原方程有两个相等的根；
如果m2=1，那么8k-3k2=1，经计算此时k不是整数；
如果m2=4，那么8k-3k2=4，∵k是整数，∴得到k=2，此时愿方程化为x2-6x+8=0，两根分别为2，4；
∴当k=2时，原方程有两个不相等的整数根，分别为2，4．
点评：此题考查了根与方程的关系，一元二次方程的判别式与求根公式的应用等知识．注意分类讨论思想与反证法的应用是解此题的关键．
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