Question

【题目】《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．

Answer 1

【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.

【解析】

（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.

解：（1）当时，，

∵计算时，个位为，需要进位，

∴2019不是“纯数”；

当时，，

∴个位为，不需要进位：十位为，不需要进位：百位为，不需要进位：千位为，不需要进位：

∴2020是“纯数”；

综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.

（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；

并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；

①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；

②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；

③当这个数为100时，100是“纯数”；

∴不大于100的“纯数”有个.