Question

如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．

（1）当CD=1时，求点E的坐标；

（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CD、CB是⊙O的切线，

∴∠ODC=∠OBC=90°

         又∵ OD=OB，OC=OC， 

           ∴△OBC≌△ODC（HL）

（2）选择a、b、c，或其中2个均给分；

方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：

(b+2r)²+c²=(a+c)²，得r=.

方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，，得r=.

方法三：连结AD，可证：AD//OC，，得r=.

若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r=.

若选择b、c，则有关系式2r³+br²－bc²=0.

（以上解法仅供参考，只要解法正确均给分）

25,解：(1) 正方形OABC中，因为ED⊥OD，即∠ODE =90°

所以∠CDO+∠EDB=90°，即∠COD=90°-∠CDO，而 ∠EDB =90°-∠CDO，

所以∠COD =∠EDB    又因为∠OCD=∠DBE=90°

所以△CDO∽△BED，

所以，即，得BE=，

则：

因此点E的坐标为（4，）．

(2) 存在S的最大值．

由△CDO∽△BED，

所以，即，BE=t－t²，

×4×(4＋t－t²)．

故当t=2时，S有最大值10．