Question

如图，直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，且AD=CD，直角∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF；⑤S_{四边形AEDF}=

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2

AD²，其中正确结论是（　　）

A．①②④

B．①②③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误；根据全等三角形的面积相等可得S_△ADF=S_△BDE，从而求出S_{四边形AEDF}=S_△ABD=

1

2

AD²，判断出⑤正确．

解答：解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，

∠CAD=∠B AD=BD ∠ADF=∠BDE

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF＞EF，故④错误；
∵△BDE≌△ADF，
∴S_△ADF=S_△BDE，
∴S_{四边形AEDF}=S_△ABD=

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2

AD²，故⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③⑤．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，熟记三角形全等的判定方法并求出△BDE和△ADF全等是解题的关键．