Question

【题目】如图1，在中，，．

问题情境1：（1）与的数量关系为_______；

问题情境2：（2）如图2，若，且，则与的数量关系是什么．请说明理由；

拓展延伸：（3）将图2中的绕点顺时针旋转角度（），在旋转过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出，，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或．

【解析】

（1）如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解决问题；

（2）证明△AMB≌△ANC即可得到BM=CN；

（3）如图3中，作AH⊥MN于H．由△MAB≌△NAC，推出BM＝CN，在Rt△AMH中，MH＝AMcos30°＝AM，由AM＝AN，AH⊥MN，推出MH＝HN，可得CM＝MN+NC＝2MH+BM＝AM+BM；如图4中，同理可得：BM＝CM+AM．

解：（1），

如图，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

在Rt△ABH中，cos∠ABH=，

∴BH＝AB∠ABH=ABcos30°＝

∴BC＝2BH=．

（2）.

理由如下：

，

，.

，

，

，

即.

在和中，

，

（3）如图3中，作AH⊥MN于H．

∵△MAB≌△NAC，

∴BM＝CN，

在Rt△AMH中，MH＝AMcos30°＝AM，

∵AM＝AN，AH⊥MN，

∴MH＝HN，

∵CM＝MN+CN＝2MH+BM＝AM+BM．

如图4中：C，M，N共线时，同理可得：BM＝CM+AM．

∴或.