Question

若x+y=m+n，且x²+y²=m²+n²．求证：x²⁰⁰¹+y²⁰⁰¹=m²⁰⁰¹+n²⁰⁰¹．

Answer 1

分析：首先根据题干条件x+y=m+n，且x²+y²=m²+n²，求出|x-y|=|m-n|，然后求出x、y和m、n之间的关系，即可证明出等式成立．

解答：解：∵x+y=m+n…①，
x²+y²=m²+n²…②，
①平方-②得：（x+y）²-（x²+y²）=（m+n）²-（m²+n²），
∵x²+y²=m²+n²，
∴原式可化为：（x+y）²-（m²+n²）=（m+n）²-（m²+n²），即（x-y）²=（m-n）²，
|x-y|=|m-n|，
分别与x+y=m-n联立，
解得

x=m y=n

或

x=n y=m

，
都有x²⁰⁰¹+y²⁰⁰¹=m²⁰⁰¹+n²⁰⁰¹．
综上等式证明．

点评：本题主要考查分式的等式证明的知识点，证明出x、y和m、n之间的关系是解答的关键．