Question

8．如图，已知 B、C、E三点共线，分别以BC、CE为边作等边△ABC和等边△CDE，连接BD、AE分别与AC、CD 交于M、N，AE与BD的交点为F．
（1）求证：BD=AE；
（2）求∠AFB的度数；
（3）求证：BM=AN；
（4）连接MN，求证：MN∥BC．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC与三角形DCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形BCE全等，利用全等三角形的性质即可得证．
（2）由全等三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结果；
（3）由ASA证明△BCM≌△ACN，得出对应边相等即可；
（4）由全等三角形的性质得出CM=CN，证明△CMN是等边三角形，得出∠CMN=∠ACB=60°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
（2）解：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=∠CBD+∠BEF=∠CAE+∠BEF=∠ACB=60°；
（3）证明：∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，
∴∠BCM=∠ACN，
在△BCM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\\{∠BCM=∠ACN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴BM=AN；
（4）证明：连接MN，如图所示：
∵△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠CMN=∠ACB，
∴MN∥BC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．