Question

如图所示，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE=2∠C，求证：AC-AB=2BE．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长BE交AC于M，根据三角形内角和可得∠3=∠4，可得AB=AM，再根据条件可证明MC=MB，可得到结论．

解答：证明：如图，延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90°，
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB=180°，
∴∠3=90°-∠1，
同理，∠4=90°-∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AM，
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE，
∴AC-AB=AC-AM=CM，
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4=∠5+∠C，
∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5，
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C，
∴∠5=∠C，
∴CM=BM，
∴AC-AB=BM=2BE．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，构造等腰三角形，证得AC-AB=MC=BM是解题的关键．