Question

【题目】我们定义：如果两个三角形的两组对应边相等，且它们的夹角互补，我们就把其中一个三角形叫做另一个三角形的“夹补三角形”，同时把第三边的中线叫做“夹补中线．例如：图1中，△ABC与△ADE的对应边AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE边的中线，则△ADE就是△ABC的“夹补三角形”，AF叫做△ABC的“夹补中线”．

特例感知：

（1）如图2、图3中，△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，AF是△ABC的“夹补中线”；

①当△ABC是一个等边三角形时，AF与BC的数量关系是：　 　；

②如图3当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，BC＝a时，则AF的长是　 　；

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AF与BC的关系，并给予证明．

拓展应用：

（3）如图4，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等边三角形，求证：△PCD是△PBA的“夹补三角形”，并求出它们的“夹补中线”的长．

Answer 1

【答案】（1）AF＝BC；a；（2）猜想：AF＝BC，（3）

【解析】

（1）①先判断出AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，进而判断出∠ADE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论；

②先判断出△ABC≌△ADE，利用直角三角形的性质即可得出结论；

（2）先判断出△AEG≌△ACB，得出EG＝BC，再判断出DF＝EF，即可得出结论；

（3）先判断出四边形PHCD是矩形，进而判断出∠DPC＝30°，再判断出PB＝PC，进而求出∠APB＝150°，即可利用“夹补三角形”即可得出结论．

解：（1）

∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，

①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°

∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，

∴∠ADE＝30°，

∵AF是“夹补中线”，

∴DF＝EF，

∴AF⊥DE，

在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，

故答案为：AF＝BC；

②当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，

∵∠DAE＝90°＝∠BAC，

易证，△ABC≌△ADE，

∴DE＝BC，

∵AF是“夹补中线”，

∴DF＝EF，

∴AF＝DE＝BC＝a，

故答案为a；

（2）解：猜想：AF＝BC，

理由：如图1，延长DA到G，使AG＝AD，连EG

∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，

∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，

∴△AEG≌△ACB，

∴EG＝BC，

∵AF是“夹补中线”，

∴DF＝EF，

∴AF＝EG，

∴AF＝BC；

（3）证明：如图4，

∵△PAD是等边三角形，

∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，

∵∠ADC＝150°，

∴∠PDC＝90°，

作PH⊥BC于H，

∵∠BCD＝90°

∴四边形PHCD是矩形，

∴CH＝PD＝3，

∴BH＝6﹣3＝3＝CH，

∴PC＝PB，

在Rt△PCD中，tan∠DPC＝，

∴∠DPC＝30°

∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，

∴∠APB+∠CPD＝180°，

∵DP＝AP，PC＝PB，

∴△PCD是△PBA的“夹补三角形”，

由（2）知，CD＝，

∴△PAB的“夹补中线”＝．